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在资本聚集的大城市中，房价奇高，绝大多数劳动者都负担不起购买房产的资金。面对这个现象，资产阶级经济学家会这样解释：”根据看不见的手的原理下，价格是市场配置资源最高效的手段，因此，买不起房正说明你应该让有能力的人来配置房产，以便能够使其效用最大化。”虽然单个人的收入增长能够解决他买不起房产的窘境，但实际上，在资产阶级与无产阶级矛盾未得到缓解，甚至是加剧的情况下，即便劳动阶级的收入得到增长，房产也依然会涨到劳动者负担不起的地步。或者说，在这种情况下，劳动阶级的的收入增长也只会是纸面数据的增长，甚至是实际收入水平的下跌。劳动者收入多少不重要，他们买不起才重要。

当然，房价也只是这种阶级矛盾的一个侧面反映，还有诸多其他的侧面反映。而这些侧面的总和，构成了这种阶级关系。

原文链接：程序员属于什么阶级？上升空间如何？ - 白头豕的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/36851145/answer/108617648

多元函数的基本概念

平面点集 *n维空间

$\mathbf{R}^{2}=\mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y) | x, y \in \mathbf{R}}$表示坐标平面。

平面上具有某种性质$P$的点的集合，称为平面点集，记作
$$
E={(x, y) |(x, y)具有性质P}
$$
$R^2$领域的概念

设$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$是$xOy$平面上的一点，$\delta$是某一正数。与点$P_0$距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$领域，记作$U\left(P_{0}, \delta\right)$，即
$$
U\left(P_{0}, \delta\right)=\left{P ||P P_{0}|<\delta\right}
$$
也就是
$$
U\left(P_{0}, \delta\right)={(x, y) | \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta}
$$
其取心领域为
$$
\mathring{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left{P|0<| P P_{0} |<\delta\right}
$$
几何上，$U\left(P_{0}, \delta\right)$就是$xOy$平面上以$P_0$为中心，$\delta>0$为半径的圆内部的点$P(x,y)$的全体。

点与点集的关系

内点：如果存在点$P$的某个领域$U(P)$，使得$U(P)\subset E$，那么称$P$为$E$的内点；

外点：$U(P) \cap E=\varnothing$

边界点：点$P$的任一领域既含有属于$E$的点，又不含有属于$E$的点

$E$的边界点的全体，称为$E$的边界，记作$\partial E$.

$n$维空间

线性运算的集合$R^n$称为$n$维空间。

$R^n$中点$\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$，和点$y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$间的距离，记作$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$，规定
$$
\rho(x, y)=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}
$$
$R^n$中元素$x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$与零元$0$之间的距离$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$记作$|x|$(在$\R_1,\R_2,R_3$中，通常将$|x|$记作$|x|$，即
$$
|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}
$$
结合向量的线性运算，便得
$$
|x-y|=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}=\rho(x, y)
$$

多元函数的概念

函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记作$f(D)$，即
$$
f(D)={z | z=f(x, y),(x, y) \in D}
$$
一般的，把定义1中的平面点集$D$换成$n$维空间$R^n$内的点集$D$，映射$f$：$D\rightarrow R$就称为定义在$D$上的$n$元函数，通常记为
$$
u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
$$
或简记为
$$
u=f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \boldsymbol{P}
$$
也可记为
$$
u=f(P), P\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
$$
当$n=1$时，$n$元函数就是一元函数；当$n\geq2$时，$n$元函数统称多元函数。

​ 在一般地讨论用算式表达的多元函数$u=f(x)$时，就可以使这个算式有意义的边元$x$的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。

多元函数的极限

多元函数的连续性

在有界闭区间上连续的多元函数具有如下性质：

偏导数

偏导数的定义及其算法

类似地，函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数定义为
$$
\lim {\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$
记作
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|{x=x{0}},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|{x=x{0}},\left.z_{y}\right|{x=x{0} \atop y=y_{0}} \quad \text { 或 } \quad f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$

高阶偏导数

全微分

通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。

多元复合函数求导法则

一元函数与多元函数复合的情形

微分方程的概念

一般的，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。

而，微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般的，$n$阶微分方程的形式是
$$
F\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0
$$

设函数$y=\varphi(x)$在区间$I$上有$n$阶连续导数，如果在区间$I$上，
$$
F\left[x, \varphi(x), \varphi^{\prime}(x), \cdots, \varphi^{(n)}(x)\right] \equiv 0
$$
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与目标微分方程的阶数相同，那么称该解为方程的通解。

可分离变量的微分方程

一般的，如果一个一阶微分方程能写成
$$
g(y) \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x
$$
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有$y$和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

例如：
$$
\frac{d y}{d x}=2 x y^{2}\
\implies \int\frac{d y}{y^{2}}=\int2 x d x\
\implies -\frac{1}{y}=x^{2}+C
$$

奇次方程

如果一阶微分方程可化成
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
的形式，那么就称这方程为其次方程，例如
$$
\left(x y-y^{2}\right) d x-\left(x^{2}-2 x y\right) d y=0\
\implies \frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}\
\implies \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{1-2\left(\frac{y}{x}\right)}
$$

齐次方程的解法

在其次方程
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
中引进新的未知函数
$$
u=\frac{y}{x}
$$
就可以把它化为可分离变量的方程，
$$
y=u x, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}
$$
带入原方程可得
$$
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\varphi(u)
$$
即
$$
x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\varphi(u)-u
$$
分离变量，得
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x}
$$

两边分别积分
$$
\int \frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
求出积分后，再用$\frac{y}{x}$代替$u$所得便是方程的通解。

可化为齐次的方程

方程
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}
$$
在$c=c_1=0$时是齐次的，否则不是齐次的。在非奇次的情形下，可用下列变换把它化为齐次方程：令
$$
x=X+h, y=Y+k
$$
其中$h,k$，是待定的系数。于是
$$
\mathrm{d} x=\mathrm{d} X, \quad \mathrm{d} y=\mathrm{d} Y
$$
从而，原方程变为
$$
\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\frac{a X+b Y+a h+b k+c}{a_{1} X+b_{1} Y+a_{1} h+b_{1} k+c_{1}}
$$
如果方程组
$$
\left{\begin{array}{l}
{a h+b k+c=0} \
{a_{1} h+b_{1} k+c_{1}=0}
\end{array}\right.
$$
的系数行列式
$$
\left|\begin{array}{ll}
{a} & {b} \
{a_{1}} & {b_{1}}
\end{array}\right| \neq 0
$$

即$\frac{a_{1}}{a} \neq \frac{b_{1}}{b}$，那么可以定出$h$及$k$使它们满足上述方程租。这样，原方程便化为齐次方程
$$
\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\frac{a X+b Y}{a_{1} X+b_{1} Y}
$$
求出这齐次方程的通解后，在通解中以$x-h$代$X$，$y-k$代$Y$，便可求原方程的通解。

而当$\frac{a_{1}}{a}=\frac{b_{1}}{b}$，$h,k$无法求得，因此上述方法不能应用。但这时令$\frac{a_{1}}{a}=\frac{b_{1}}{b}=\lambda$，从而方程可写为
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{\lambda(a x+b y)+c_{1}}
$$
引入新变量$v=a x+b y$，则
$$
\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=a+b \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} 或 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-a\right)
$$
此时方程可写为
$$
\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-a\right)=\frac{v+c}{\lambda v+c_{1}}
$$
这是可分离变量的方程

以上方法可应用于更一般的方程
$$
\frac{d y}{d x}=f\left(\frac{a x+b y+c}{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}\right)
$$

一阶线性微分方程

线性方程

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) \tag{4-1}
$$
叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数$y$及其导数时一次方程。如果$Q(x) \equiv 0$，那么该方程即使齐次的，如果$Q(x) \not\equiv 0$，那么方程就是非齐次的。

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=0 \tag{4-2}
$$
叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性防方程。对其分离变量得
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y}=-P(x) \mathrm{d} x
$$
两端积分
$$
\ln |y|=-\int P(x) \mathrm{d} x+C_{1}
$$
或
$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \quad\left(C=\pm \mathrm{e}^{c_{1}}\right)
$$
这是对应的齐次线性方程的通解。

现在使用常数变易法来求原非齐次方程的通解。将通解中的$C$换成$x$的未知函数$u(x)$，即作变换
$$
y=u \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\tag{4-3}
$$
于是
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}-u P(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}
$$
将上两式带入原非齐次方程得
$$
u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}-u P(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}+P(x) u \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}=Q(x)
$$

即
$$
u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}=Q(x), u^{\prime}=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x}
$$
两端积分得
$$
u=\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C
$$
将上式带入(4-3)，便得非齐次线性方程的解
$$
y=\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C\right)
$$
将上式写成两项之和
$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}+\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x
$$
上式第一项是对应齐次线性方程的通解，第二项是非齐次线性方程(4-1)的一个特解(在$C=0$时方程(4-1)取得该通解)。由此，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解的和。

伯努利方程

方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) y^{n} \quad(n \neq 0,1)
$$
叫做伯努利方程。当$n=0或n=1$时，就是线性微分方程。当不是线性时，可以通过变量代换，化为线性的。

两边除以$y^n$，得
$$
y^{-n} \frac{d y}{d x}+P(x) y^{1-n}=Q(x)
$$
上式左端第一项与$\frac{d}{d x}\left(y^{1-n}\right)$只差一个常数因子$1-n$，因此引入新的因变量
$$
z=y^{1-n}
$$
则
$$
\frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x}
$$
用$(1-n)$乘方程的两端，再通过上述代换便得线性方程
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}+(1-n) P(x) z=(1-n) Q(x)
$$
求出该方程的通解后，再以$y^{1-n}$代$z$便得到伯努利方程的通解。

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$型的微分方程

方程
$$
y^{(n)}=f(x)
$$
右边只含有自变量$x$，只要把$y^{n-1}$作为新的未知函数，两边积分，就得到一个$n-1$阶的微分方程
$$
y^{(n-1)}=\int f(x) \mathrm{d} x+C_{1}
$$
同理
$$
y^{(n-2)}=\int\left[\int f(x) \mathrm{d} x+C_{1}\right] \mathrm{d} x+C_{2}
$$

$y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$型的微分方程

方程

$$
y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)\tag{5-7}
$$
右端不含未知函数$y$.如果我们设$y\prime=p$，那么
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=p^{\prime}
$$
方程(5-7)就变成
$$
p^{\prime}=f(x, p)
$$
这是一个关于变量$x,p$的一阶微分方程。设通解为
$$
p=\varphi\left(x, C_{1}\right)
$$
但是$=p=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，因此又得到一个一阶微分方程
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(x, C_{1}\right)
$$
对它积分便可求得方程(5-7)的通解
$$
y=\int \varphi\left(x, C_{1}\right) \mathrm{d} x+C_{2}
$$

$y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$型的微分方程

方程
$$
y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)\tag{5-11}
$$
中，不明显地含自变量$x$，可设$y\prime=p$，并利用复合函数的求导法则把$y\prime\prime$化为对$y$的对数，即
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}
$$
于是，方程就成了
$$
p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=f(y, p)
$$
这是一个关于变量$y,p$的一阶微分方程。设它的通解为
$$
y^{\prime}=p=\varphi\left(y, C_{1}\right)
$$
分离变量并积分，变得方程(5-11)的通解
$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi\left(y, C_{1}\right)}=x+C_{2}
$$

高阶线性微分方程

线性微分方程解的结构

二阶齐次线性方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\tag{6-6}
$$
定理一：如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程(6-6)的解，那么
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)\tag{6-7}
$$
也是方程的解，其中$C_1,C_2$是任意常数。

定理二：如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程(6-6)的两个线性无关的特解，那么
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x),(C_1,C_2是任意常数)
$$
就是方程(6-6)的通解。

推论：如果$y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)$是$n$阶线性方程
$$
y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=0
$$
的$n$个线性无关的解，那么，此方程的通解为
$$
y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)+\cdots+C_{n} y_{n}(x)
$$
其中$C_1,C_2,…,C_n$为任意常数。

定理三：设$y^*(x)$是二阶非齐次线性方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)\tag{6-5}
$$
的一个特解。$Y(x)$是与(6-5)对应的齐次方程的通解，则
$$
y=Y(x)+y^{*}(x)
$$
是二阶非齐次线性微分方程(6-5)的通解。

定理四：设非齐次线性方程(6-5)的右端$f(x)$是两个函数之和，即
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x)\tag{6-9}
$$
而$y^*(x),y^*(x)$分别是方程
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{1}(x)
$$
与
$$
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{2}(x)
$$
的特解，则
$$
y_{1}^{}(x)+y_{2}^{}(x)
$$
就是原方程的特解。

常数变易法

如果已知齐次方程(6-6)的通解为
$$
Y(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)
$$
令
$$
y=y_{1}(x) v_{1}+y_{2}(x) v_{2}\tag{6-10}
$$
要确定未知函数$v_1(x),v_2(x)$使(6-10)式表示的函数满足非齐次方程(6-5)。为此，对(6-10)进行求导，得
$$
y^{\prime}=y_{1} v_{1}^{\prime}+y_{2} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}
$$
由于两个未知函数$v_1,v_2$只需使(6-10)式所表示的函数满足一个关系式(6-5)，所以可规定它们再满足一个关系式，从$y\prime$的上述表示式可看出，为了使$y\prime\prime$的表示式中不含有$v\prime\prime,v_2\prime\prime$,可设
$$
y_{1} v_{1}^{\prime}+y_{2} v_{2}^{\prime}=0\tag{6-11}
$$
从而
$$
y^{\prime}=y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}
$$
再求导，得
$$
y^{\prime \prime}=y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime \prime} v_{1}+y_{2}^{\prime \prime} v_{2}
$$
把$y,y\prime,y\prime\prime$带入方程(6-5)，得
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+y_{1}^{\prime \prime} v_{1}+y_{2}^{\prime \prime} v_{2}+P\left(y_{1}^{\prime} v_{1}+y_{2}^{\prime} v_{2}\right)+Q\left(y_{1} v_{1}+y_{2} v_{2}\right)=f
$$
整理得
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}+\left(y_{1}^{\prime \prime}+P y_{1}^{\prime}+Q y_{1}\right) v_{1}+\left(y_{2}^{\prime \prime}+P y_{2}^{\prime}+Q y_{2}\right) v_{2}=f
$$
因为$y_1,y_2$是齐次方程(6-6)的解，故上式即为
$$
y_{1}^{\prime} v_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} v_{2}^{\prime}=f\tag{6-12}
$$
联立方程(6-11)与(6-12)，在系数行列式
$$
W=\left|\begin{array}{ll}
{y_{1}} & {y_{2}} \
{y_{1}^{\prime}} & {y_{2}^{\prime}}
\end{array}\right|=y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} y_{2} \neq 0
$$
可解得
$$
v_{1}^{\prime}=-\frac{y_{2} f}{W}, v_{2}^{\prime}=\frac{y_{1} f}{W}
$$
对上式两端积分(假定$f(x)$连续)，得
$$
v_{1}=C_{1}+\int\left(-\frac{y_{2} f}{W}\right) \mathrm{d} x, v_{2}=C_{2}+\int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{d} x
$$
于是非齐次方程(6-5)的通解为
$$
y=C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} \mathrm{d} x+y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{d} x
$$

常系数齐次线性微分方程

方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,(p,q为常数)\tag{7-2}
$$
那么称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果$p,q$不全为常数，称为二阶变系数齐次线性微分方程。

因为，当$r$为常数时，指数$y=e^{rx}$和它的各阶导数都只相差一个常数因子。因此以$y=e^{rx}$来尝试，能否选取适当的$r$来使$y=e^{rx}$来满足方程(7-2)。

令$y=e^{rx}$，则原齐次方程变为
$$
\left(r^{2}+p r+q\right) e^{r x}=0
$$
因为$e^{rx}\neq0$，所以
$$
r^{2}+p r+q=0\tag{7-3}
$$
由此可见，只要$r$满足代数方程(7-3)，函数$y=e^{rx}$就是微分方程(7-2)的解，我们把(7-3)叫做微分方程(7-2)的特征方程。

其中$r^2,r$的系数项恰好依次是目标微分方程中$y\prime\prime,y\prime,y$的系数。

特征方程(7-3)的两个根$r_1,r_2$可以用公式
$$
r_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4 q}}{2}
$$
表示，它有三种不同的情形。

• 1 当$p^{2}-4 q>0$时，$r_1,r_2$时两个不相等的实根
  $$
  r_{1}=\frac{-p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}, \quad r_{2}=\frac{-p-\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}
  $$

• 2 当$p^{2}-4 q=0$，$r_1,r_2$时两个相等的实根
  $$
  r_{1}=r_{2}=-\frac{p}{2}
  $$

• 3 当$p^{2}-4 q=0$，$r_1,r_2$是一对共轭复根

$$
r_{1}=\alpha+\beta \mathrm{i}, \quad r_{2}=\alpha-\beta \mathrm{i}
$$

其中
$$
\alpha=-\frac{p}{2}, \quad \beta=\frac{\sqrt{4 q-p^{2}}}{2}
$$
对应的，微分方程(7-2)的解也有三种不同的情形。

• 特征方程有两个不相等的实根

由上面的论述知道，$y_{1}=e^{r_{1} x}, y_{2}=e^{r_{2} x}$，是微分方程(7-2)的解，并且
$$
\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{r_{2} x}}{e^{r_{1} x}}=e^{\left(r_{2}-r_{1}\right) x}
$$
不是常数，因此微分方程(7-2)的通解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+C_{2} \mathrm{e}^{r_{2} x}
$$

• 特征方程有两个相等的实根

这时，微分方程(7-2)的一个解
$$
y_{1}=\mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
但为了求出微分方程(7-2)的通解，还需要一个解$y_2$，并且$\frac{y_2}{y_1}$不等于常数。设$\frac{y_{2}}{y_{1}}=u(x)$，即$y_{2}=e^{r_{1} x} u(x)$。下面来求$u(x)$。将$y_2$求导，得
$$
\begin{array}{l}
{y_{2}^{\prime}=\mathrm{e}^{r_{1} x}\left(u^{\prime}+r_{1} u\right)} \
{y_{2}^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{r_{1} x}\left(u^{\prime \prime}+2 r_{1} u^{\prime}+r_{1}^{2} u\right)}
\end{array}
$$
将$y,y\prime,y\prime\prime$代入微分方程(7-2)，得
$$
\mathbf{e}^{r_{1} x}\left[\left(u^{\prime \prime}+2 r_{1} u^{\prime}+r_{1}^{2} u\right)+p\left(u^{\prime}+r_{1} u\right)+q u\right]=0
$$
约去$e^{r_1x}$合并同类项
$$
u^{\prime \prime}+\left(2 r_{1}+p\right) u^{\prime}+\left(r_{1}^{2}+p r_{1}+q\right) u=0
$$
由于$r_1$是特征方程(7-3)的二重根。因此$r_{1}^{2}+p r_{1}+q=0$，且$2 r_{1}+p=0$，于是得
$$
u^{\prime \prime}=0
$$
因为这里想要一个部位常数的解，所以不妨取$u=x$，由此得微分方程(7-2)的另一个解
$$
y_{2}=x \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
从而微分方程(7-2)的通解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+C_{2} x \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$
即
$$
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{r_{1} x}
$$

• 特征方程有一对共轭复根：$r_{1}=\alpha+\beta \mathrm{i}, r_{2}=\alpha-\beta \mathrm{i}(\beta \neq 0)$。

此时，
$$
y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta \mathrm{i}) x}, y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta \mathrm{i}) x}
$$
是微分方程(7-2)的两个解，但它们是复值形式。为得到实值形式的解，先利用欧拉公式
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta
$$
把$y_1,y_2$改写成
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta \mathrm{i}) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{\beta \mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x+\mathrm{i} \sin \beta x)\
&y_{2}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta 1) x}=\mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{-\beta x \mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x-\mathrm{i} \sin \beta x)
\end{aligned}
$$
由于复值函数$y_1,y_2$之间共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以$2i$就得到它们的虚部。由于方程(7-2)的解符合叠加原理，所以实值函数

还是微分方程(7-2)的解，且
$$
\frac{\bar{y}{1}}{\bar{y}{2}}=\frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x}=\cot \beta x
$$
不是常数，所以为微分方程(7-2)的通解为
$$
y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)
$$

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0\tag{7-2}
$$
的通解步骤为

第一步 写出微分方程(7-2)的特征方程
$$
r^{2}+p r+q=0\tag{7-3}
$$
第二步 求出特征方程(7-3)的两个根$r_1,r_2$。

第三步 根据特征方程(7-3)的两个根的不同形式，按下列表格写出微分方程(7-2)的通解：

常系数非齐次线性微分方程

一般形式
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x),(p,q为常数)\tag{8-1}
$$

求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0
$$
的通解和非齐次方程(8-1)本身的一个特解。

$f(x)=e^{\lambda x} P_{m}(x)$型

考虑选取适当的多项式$R(x)$，使$y^{}=R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$满足方程(8-1)。为此，将
$$
\begin{array}{l}
{y^{}=R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}} \
{y^{} \quad=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda R(x)+R^{\prime}(x)\right]} \
{y^{ \prime}=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda^{2} R(x)+2 \lambda R^{\prime}(x)+R^{\prime \prime}(x)\right]}
\end{array}
$$
带入方程(8-1)并消去$e^{\lambda x}$，得
$$
R^{\prime \prime}(x)+(2 \lambda+p) R^{\prime}(x)+\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) R(x)=P_{m}(x)\tag{8-3}
$$

• 如果$\lambda$不是(8-2)式的特征方程的根，即$\lambda^{2}+p \lambda+q \neq 0$，

由于$P_m(x)$是一个$m$次多项式，要使(8-3)两端相等，那么可令$R(x)$为另一个$m$次多项式$R_m{x}$：
$$
R_{m}(x)=b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m-1} x+b_{m}
$$
代入(8-3)式，比较等式两端$x$同次幂的系数，就可以得到$b_0,b_1,…b_m$作为未知数的$m+1$个方程的联立方程组。从而可以定出这些$b_i$，并得到所求的特解$y^{*}=R_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$。

• 如哦$\lambda$式特征方程的单根

即$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$，,但$2 \lambda+p \neq 0$，要使(8-3)的两端相等，那么$R^{\prime}(x)$必须使$m$次多项式。此时令
$$
R(x)=x R_{m}(x)
$$
并且可以用同样的方法来确定$R_m(x)$的系数$b_{i}(i=0,1,2, \cdots, m)$。

• 如果$\lambda$使特征方程的重根

即$\lambda^{2}+p \lambda+q=0,且 2 \lambda+p=0$，要使(8-3)的两端相等，那么$R^{\prime \prime}(x)$必须是$m$次多项式。此时可令
$$
R(x)=x^{2} R_{m}(x)
$$
并用同样的方法来确定$R_{m}(x)$。

例：求微分方程$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x \mathrm{e}^{2 x}$的通解。

解：

所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且$f(x)$为$e^{\lambda x}P_m(x)$型，其中$\lambda=2,P_m(x)=x$。

对应齐次方程为
$$
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0
$$
该齐次方程的特征方程为
$$
r^{2}-5 r+6=0
$$
该特征方程有两个实根$r=2,r=3$。于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
$$
Y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}
$$
因为$\lambda=2$是特征方程的单根，所以设$y^*$为
$$
y^{}=x\left(b_{0} x+b_{1}\right) \mathrm{e}^{2 x}
$$
把它代入所给方程，得
$$
-2 b_{0} x+2 b_{0}-b_{1}=x
$$
比较两端同次幂系数，得
$$
\left{\begin{array}{l}
{-2 b_{0}=1} \
{2 b_{0}-b_{1}=0}
\end{array}\right.
$$
解得$b_{0}=-\frac{1}{2}, b_{1}=-1$，因此求得一特解
$$
y^{}=x\left(-\frac{1}{2} x-1\right) e^{2 x}
$$
从而所求特解为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}-\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{2 x}
$$

$f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]$型

应用欧拉公式
$$
\cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right), \sin \theta=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right)
$$
把$f(x)$变成复变指数函数的形式，有
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \cos \omega x+Q_{n} \sin \omega x\right] \
&=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \frac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2}+Q_{n} \frac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}}-\mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}}\right] \
&=\left(\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega \mathrm{i}) x}+\left(\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega \mathrm{i}) x} \
&=P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega \mathrm{i}) x}+\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega \mathrm{i}) x}
\end{aligned}
$$
其中
$$
P(x)=\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}=\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2} \mathrm{i}, \bar{P}(x)=\frac{P_{l}}{2}-\frac{Q_{n}}{2 \mathrm{i}}=\frac{P_{l}}{2}+\frac{Q_{n}}{2} \mathrm{i}
$$
是互成共轭的$m$次多项式(即它们对应项的系数是共轭复数)，而$m=\max {l, n}$。

应用上一目的结果，使得$y_{1}^{}=x^{k} R_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}$，为方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}
$$
的特解，其中$k$按$\lambda+\omega i$不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取$0,1$.由于$f(x)$的第二项$\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}$与第一项$P(x) \cdot e^{(\lambda+\omega i) x}$成共轭，所以与$y^1$成共轭的函数$y{2}^{}=x^{k} \bar{R}{m} \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}$必然是方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}
$$
的特解，这里$\bar{R}{m}$表示与$R_m$成共轭的$m$次多项式。于是方程(8-1)具有形如
$$
y^{}=x^{k} R_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+\omega i) x}+x^{k} \bar{R}{m} \mathrm{e}^{(\lambda-\omega i) x}
$$
的特解，上式可写成
$$
\begin{aligned}
y^{*} &=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m} \mathrm{e}^{\omega * \mathrm{i}}+\bar{R}{m} \mathrm{e}^{-\omega \mathrm{ri}}\right] \
&=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m}(\cos \omega x+\mathrm{i} \sin \omega x)+\bar{R}{m}(\cos \omega x-\mathrm{i} \sin \omega x)\right]
\end{aligned}
$$
由于括号内的两项是共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数的形式
$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
$$
综上所述，又如下结论

如果
$$
f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]
$$
则二阶常系数非齐次线性微分方程(8-1)的特解可设为
$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
$$
其中$R_{m}^{(1)}(x), R_{m}^{(2)}(x)$是$m$次多项式，$m=\max {l, n}$，而$k$按$\lambda+\omega i$或$\lambda-\omega i$不是特征方程的根，或是特征方程的单根以此取$0,1$。

欧拉方程

形如
$$
x^{n} y^{(n)}+p_{1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} x y^{\prime}+p_{n} y=f(x)\tag{9-1}
$$
的方程(其中$p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$为常数)，叫做欧拉方程。

作变换$x=e^{t}$或$t=\ln x$，将自变量$x$换成$t$，我们有
$$
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{1 \mathrm{d} y}{x \mathrm{d} t}\
&\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}\right)\
&\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{1}{x^{3}}\left(\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}\right)
\end{aligned}
$$
如果采用记号$D$表示对$t$求导的运算$\frac{d}{d t}$，那么上述计算结果可以写作
$$
\begin{array}{l}
{x y^{\prime}=\mathrm{D} y} \
{x^{2} y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) y=\left(\mathrm{D}^{2}-\mathrm{D}\right) y=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1) y} \
{x^{3} y^{\prime \prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} t^{3}}-3 \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}}+2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\left(\mathrm{D}^{3}-3 \mathrm{D}^{2}+2 \mathrm{D}\right) y=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1)(\mathrm{D}-2) y}
\end{array}
$$
一般地，有
$$
x^{k} y^{(k)}=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1) \cdots(\mathrm{D}-k+1) y
$$
把它代入欧拉方程(9-1)，便得一个以$t$为自变量的常系数线性微分方程。在求出这个方程的解后，把$t$换成$\ln x$，即得原方程的解。

定积分的概念与性质

定积分的性质

微积分基本公式

定理1

如函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么积分上限的函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
在$[a,b]$上可导，并且它的导数
$$
\Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(x) \quad(a \leqslant x \leqslant b)
$$

定理2

如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么函数
$$
\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t
$$
就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。

定理3(微积分基本定理)

如果函数$F(x)$时连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么
$$
\int^b_af(t)dt=F(b)-F(a)=[F(x)]^b_a
$$

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分布积分法

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=\left[\int u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]{a}^{b} \
&=\left[u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right]{a}^{b} \
&=[u(x) v(x)]{a}^{b}-\int{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

简记作
$$
\int_{a}^{b} u \mathrm{d} v=[u v]{a}^{b}-\int{a}^{b} v \mathrm{d} u
$$

反常积分

无穷限的反常积分

$$
\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim {t \rightarrow+\infty} \int{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x
$$

反常函数审敛法

无限反常函数审敛法

无界函数的反常积分的审敛法

不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念

原函数存在定理

基本积分表

不定积分的性质

换元积分法

分部积分法

两函数乘积的导数公式为
$$
(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\
u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v
$$
两边同时不定积分
$$
\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{d} x
$$
通常写作下列形式
$$
\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{d} x
$$

有理函数的积分

两个多项式的商$\frac{P(x)}{Q(x)}$称为有理函数

例：

结论

曲率(k)：描述曲线的平均弯曲程度，数学表达$\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$,

计算公式：
$$
R=\frac{1}{k}=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left[1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{f^{\prime \prime}}
$$

推导过程

设曲线的直角坐标方程式$y=f(x)$，且$f(x)$具有二阶导数,这时$f\prime(x)$连续，从而曲线是光滑的。

因为$\tan\alpha=y\prime$，所以
$$
a=\arctan y\prime \
\frac{\mathrm{d} \alpha}{d x}=\left(\arctan \mathrm{y}^{\prime}\right)^{\prime} \
\mathrm{d}\alpha =\left(\arctan \mathrm{y}^{\prime}\right)^{\prime}{d x}=
\frac{y\prime\prime}{1+y\prime^2}dx
$$
又因为弧微分公式[^1]为
$$
\mathrm{ds}=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{d} \mathrm{x}
$$
所以
$$
k=\frac{d\alpha}{ds}=\frac{f^{\prime \prime}}{\left[1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

参考

[^1]: 弧微分公式及其推导 https://www.cnblogs.com/fujj/p/9704589.html

如何通俗地解释泰勒公式？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/111173412

如何通俗地解释泰勒公式？ - 知乎用户的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/734966062

在日常使用scoop安装工具时，出现如下错误

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ERROR https://updates.tdesktop.com/tsetup/tportable.1.9.9.zip
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ERROR & 'C:\Users\Administrator\scoop\apps\aria2\current\aria2c.exe' --input-file='C:\Users\Administrator\scoop\cache\telegram.txt' --user-agent='Scoop/1.0 (+http://scoop.sh/) PowerShell/5.1 (Windows NT 10.0; Win64; x64; Desktop)' --allow-overwrite=true --auto-file-renaming=false --retry-wait=2 --split=5 --max-connection-per-server=5 --min-split-size=5M --console-log-level=warn --enable-color=false --no-conf=true --follow-metalink=true --metalink-preferred-protocol=https --min-tls-version=TLSv1.2 --stop-with-process=5012 --continue

Please try again or create a new issue by using the following link and paste your console output:
https://github.com/lukesampson/scoop-extras/issues/new?title=telegram%401.9.9%3a+download+via+aria2+failed

在按照提示在项目地址提了个issue得到回复

然后我就关闭了使用aria2下载的设置

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Administrator :: ~\WebstormProjects\RSSHub <master> » scoop install telegram
Installing 'telegram' (1.9.9) [64bit]
tportable.1.9.9.zip (24.6 MB) [===============================================================================] 100%
Checking hash of tportable.1.9.9.zip ... ok.
Extracting tportable.1.9.9.zip ... done.
Running pre-install script...
Linking ~\scoop\apps\telegram\current => ~\scoop\apps\telegram\1.9.9     Creating shim for 'telegram'.
Creating shortcut for Telegram (Telegram.exe)
Persisting tdata
'telegram' (1.9.9) was installed successfully!

它成了。

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微分中值定理

费马定理

通常称导等于零的点为函数的驻点(或稳定点，零界点)

罗尔定理

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足：

• 在闭区间$[a,b]$上连续；
• 在开区间$(a,b)$可导，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi \quad(a<\xi<b)$，使等式：
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)
$$
成立。

几何意义

上式可变换为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)
$$

如果连续曲线$y=f(x)$的弧$\widehat{AB}$上除端点以外，处处具有不垂直与$x$轴的切线，那么曲线上至少有一点的切线平行于$AB$.

柯西中值定理

如果函数$f(x),F(x)$满足:

• 在闭区间$[a,b]$上连续；
• 在开区间$(a,b)$可导，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使等式

$$
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}
$$

洛必达法则

定理一

例题 求$\lim\frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$

解

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-3}{x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x}{6 x-2}=\frac{3}{2}
$$

注意：上式中的$\lim\frac{6x}{6x-2}$已不是不定式，不能对它使用洛必达法则。

定理二

例：求$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}$,($n$为正整数，$\lambda>0$)

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{n}}{\mathrm{e}^{\lambda x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n x^{n-1}}{\lambda \mathrm{e}^{\lambda x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n(n-1) x^{n-2}}{\lambda^{2} \mathrm{e}^{\lambda x}}=\cdots=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n !}{\lambda^{n} \mathrm{e}^{A x}}=0
$$

泰勒公式

泰勒中值定理1

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该领域内的任一$x$，有
$$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)
$$
其中，
$$
R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$

泰勒中值定理2

可得近似式
$$
f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}
$$
对应的误差估计式变成
$$
\left|R_{n}(x)\right| \leqslant \frac{M}{(n+1) !}|x|^{n+1}
$$
例：写出函数的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式.

因为
$$
f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^{x}
$$
所以
$$
f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=1
$$
得
$$
\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(0<\theta<1)
$$
此时产生的误差为
$$
\left|R_{n}(x)\right|=\left|\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1}\right|<\frac{\mathrm{e}^{|x|}}{(n+1) !}|x|^{n+1} \quad(0<\theta<1)
$$
如果取$x=1$，则得到无理数$e$的近似式为
$$
\mathrm{e} \approx 1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}
$$
其误差为
$$
\left|R_{n}\right|<\frac{e}{(n+1) !}<\frac{3}{(n+1) !}
$$
当$n=10$时可算出$e\approx 2.718 282$，其误差不超过$10^{-6}$。

函数的单调性和曲线的凹凸性

函数单调性的判定法

定理一

曲线的凹凸性和拐点

函数的极值与最大值和最小值

函数极值的求法

曲率

我们用$\frac{|\Delta\alpha|}{\Delta s}$,即单位弧段上切线转过的大小来表示弧段$\widehat{MM^{\prime}}$的平均程度，把该比值叫做它的平均曲率，记作$\overline{K}$,即
$$
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

直线的曲率为零，圆的曲率为$\frac{1}{a}$。

弧微分公式

$$
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{d} x
$$

曲率半径公式

$$
R=\frac{1}{k}=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left[1+\left(f^{\prime}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{f^{\prime \prime}}
$$

推导过程见：https://www.cnblogs.com/fujj/p/9704589.html

对于参数方程确定的曲线

曲率中心的计算公式 渐屈线和渐伸线

前言

京东之前公布过一份大数据排行榜，显示男人的消费能力还不如狗。

先且不论数据来源的正确性，就说商家，商家最喜欢的就是消费者无脑买买买，以此来拉动公司销售额，对于消费者是否真的需要这些商品，商家根本不关心，甚至是广告宣传中加入误导信息也是家常便饭，真切诠释了“理性经济人”的概念。

加上自己当初在窘迫的时期入了网络贷款的坑，着实让我后悔不已，所以打算把金融分期的知识整理记录下来。

分期的种类

等额本息

就是让每期还款的本金和利息相加，保持每期所还总额相等。这样，前期所还的本金较少，后期所还的本金较多。这种还款方式的好处是，长期的还款压力不变，但长期未还的本金产生的利息也更多。

等额本金

就是让每期还款的本金相等，因为前期为归还的本金多，后期为归还的本金少，所以前期要还的利息多、后期要还的利息少。由于所欠的本金不断减少，要还的利息也逐渐降低。这种还款方式，前期还款压力较大。

先息后本

就是每期先还利息，最后再还所有本金。跟前两种方式比较，这种还款方式在前期的还款压力最小，但最后一次的还款金额陡增，因此对金融机构来说风险最大。对还款人来说，要还的利息最多，一般这也只适用于做生意周转资金，短期贷款比较好。

一般，我们在日常消费中遇到的大多为等额本金的分期方式。

年利率的计算方式

这里不得不提一下利息的概念，因为我发现很多人没有弄清楚利息是跟时间想关联的概念。

利息是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者 (债权人) 因贷出货币或货币资本而从借款人 (债务人) 手中获得的报酬。

包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。在资本主义制度下，利息的源泉是雇佣工人所创造的剩余价值。利息的实质是剩余价值的一种特殊的转化形式，是利润的一部分。^1

计算公式
$$
利息=本金\times 利率 \times 存期
$$

为方便表示信用消费中实际发生利率的大小，这里我统一化为实际年利率。

等额本金

这里以一个例子为例，作为学生党，生活不宽裕，选择分期购买一部手机是再普遍不过的情形。看着宣传语中日还1元，费率0.8%这样的字样，不免让不明白其中门道的学生看的心痒痒。

例如：

这样一部2199的华为手机分12期，手续费0.8%，每期17.59元。

12期应还总金额2410.08元，每期还款183.25+17.59=200.84元。

粗算之下年利率为：
$$
利息=应还总金额-本金 \
年利率=\frac{利息}{本金}=\frac{2410.08-2199}{2199}\times 100%\approx 9.6%
$$
嗯，看起来还在可接受的范围内，距离30%的高利贷还差不少距离。如果没有内部收益率(Internal Rate of Return)的概念就会很容易入了他的道。该计算方法的问题在于没有认识到年利率是跟时间紧密相关的概念，是指期初拿到借款后，到期末连本带息一并归还，而不是简单的利息除以本金。换句话说，在分期中，欠款是分期归还，每当归还一期的欠款，那么该期欠款的借款期限是从起初到该期这段时间。简单来讲，对于第一个月归还的200.84元，借款人只借了一个月；对于第二个月的归还的200.84元，借款人只借了两个月；而只有最后一个月的200.84元，借款人才完整的持有一年的时间。

实际利率计算是有现成公式的，这个涉及到货币时间价值的一些知识，公式计算如下：
$$
\begin{align}
P&=\frac{F_1}{1+r}+\frac{F_1}{(1+r)^{2}}+\ldots+\frac{F_1}{(1+r)^{12}} \
&=\sum^{12}_{n=1}\frac{F_1}{(1+r)^n}
\end{align}
$$
其中$\frac{F_1}{(1+r)^n}$表示分散到12期里本金，其和等于总本金，r为月利率。

而年利率与月利率的关系为：
$$
P\cdot R=P\cdot(1+r)^{12}-P\
\implies R=(1+r)^{12}-1
$$

所以就需要求出月利率$r$，对于等比数列有求和公式：
$$
\begin{aligned}
&S_{n}=n \times a_{1} \quad(q=1)\
&S_{n}=a_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n} \cdot q}{1-q} \quad(q \neq 1)
\end{aligned}
$$
对公式化简：
$$
\frac{P}{F_1}=\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{12}}}{r}
$$
可以发现，想要以此求出r除了用逼近法，暂时没有其它办法。

所幸有前人造轮子：

然后:
$$
R=(1+r)^{12}-1\approx18.72%
$$

先息后本

同样以实际例子入手，我在2019年通过借呗以一年期先息后本的方式借出3000款钱，其中每期还款41.85元，期末需要额外还本金。

前面11期的情况与等额本金类似，唯一的区别是最后一期的还款是每期应还加上本金。

即：
$$
\begin{align}
P&=\frac{F_1}{1+r}+\frac{F_1}{(1+r)^{2}}+\ldots+\frac{F_1+P}{(1+r)^{12}} \
&=\sum^{11}_{n=1}\frac{F_1}{(1+r)^n}+\frac{F_1+P}{(1+r)^{12}}
\end{align}
$$
有了上面等额本金部分的推理过程，所以就直接用轮子。

然后实际年利率为：
$$
R=(1+r)^{12}-1\approx18.02%
$$

等额本息

写在最后

理性消费，原理网络借贷，做理性的消费者。若是非正规放贷企业，它的年利率会更高，也更加无良。网络借贷是个无底洞，若是陷进去了，就乘早止损爬出来。如果还打起了以贷养贷的主意，那更是一个天坑，毕竟商家只关心自己的放贷能不能收回来，收回来能产生多少收益，然后再想办法贷给他人，而对于原先的借贷人后面会怎么样，他们不关心。

最后

If 10% of the profits，capital will ensure being used everywhere；20% of the profits，capital can active；50% of the profits，capital will rush into danger。

for100% of the profits，capital would dare to trample all human laws； there are more than 300% of the profits，capital would dare to commit any crimes，and even go to the first to take the risk of strangulation。

如果有10%的利润，资本就会保证到处被使用；有20%的利润，资本就能活跃起来；有50%的利润，资本就会铤而走险；为了100%的利润，资本就敢践踏一切人间法律；有300%以上的利润，资本就敢犯任何罪行，甚至去冒绞首的危险。”-马克思-《资本论》

为了利润，资本可以不顾一切。

附：2019年各大银行贷款利率表部分一览

参考

[1]:https://www.cnblogs.com/Yang-Sen/p/11227108.html “用数据分析计算分期消费利率”

摘要

先说结论

$$
f\prime(x)=ax^{a-1}
$$

推导过程

先对$f(x)=x^a$两边取对数
$$
\ln f(x)=a\ln x \
(\ln f(x))\prime=\frac{1}{f(x)}f\prime(x)=\frac{a}{x} \
\implies f\prime(x)=ax^{a-1}
$$
其中$(ln x)\prime=\frac{1}{x}$的推导参见：

结论

$$
\frac{\rm d \ln x}{\rm d x}=\frac{1}{x}\rm d x
$$

$y=\ln x$的推导过程

$$
\begin{aligned}
\frac{d y}{d x} &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x}{x \Delta x} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right) \
&=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}} \
&=\lim{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{x} \ln e \
&=\frac{1}{x}
\end{aligned}
$$

$y=log_ax$的推导过程

$$
\begin{aligned}
&d \log _{a} x=d \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{d \ln x}{\ln a}=\rm d\frac{1}{x \ln a}\
&d e^{x}=e^{x} d x\
&d a^{x}=d e^{\ln a^{x}}=d e^{x \ln a}=e^{x \ln a} d(x \ln a)=a^{x} \ln a d x
\end{aligned}
$$

导数的概念

定义

特定点的导数表达式

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
$$

以及
$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {x \rightarrow x{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

定义式

$$
\begin{aligned}
&y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
&f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{aligned}
$$

左导数与右导数

$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {h \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\
&f^{\prime}{+}\left(x{0}\right)=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
\end{aligned}
$$

导数的几何意义

则在该切点的切线方程为：
$$
y-y_0=f\prime(x)(x-x_0)
$$
而过其切点$M(x_0,y_0)$且与切线垂直的直线叫做曲线$y=f(x)$在点$M$处的法线，则该法线方程为
$$
y-y_{0}=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\left(x-x_{0}\right)
$$
其中$f\prime(x_0)\neq 0$

函数的求导法则

函数的和，差，商，积的求导法则

式2的证明：

$$
\begin{aligned}
(u(x) v(x))^{\prime}
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x}\
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot v(x+\Delta x)+u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right]\
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} v(x+\Delta x)+u(x) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\
&=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

式3的证明

$$
\begin{aligned}
\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime} &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x)-u(x) v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x) v(x) \Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[u(x+\Delta x)-u(x)] v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)}{v(x+\Delta x) v(x) \Delta x} \
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x)-u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x) v(x)}\
&=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)} \
&=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}(v(x) \neq 0)
\end{aligned}
$$

反函数的求导法则

简单来说，反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

复合函数求导法则

基本求导法则与导数公式

高阶导数

$y=f(x)$的导数$f\prime(x)$叫做$y=f(x)$的一阶导数。
$$
y^{\prime \prime \prime}, y^{(4)}, \cdots, y^{(n)}\
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d^{4} y}{d x^{4}}, \cdots, \frac{d^{n} y}{d x^{n}}
$$

$\ln(1+x)$的$n$阶导数

$$
[\ln (1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{(1+x)^{n}}
$$

$u(x) \cdot v(x)$的$n$阶导数

$$
(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \
(u v)^{\prime \prime}=
u^{\prime \prime} v+2 u^{\prime} v^{\prime}+u v^{\prime \prime}\
(u v)^{m}=u^{m} v+3 u^{\prime \prime} v^{\prime}+3 u^{\prime} v^{\prime \prime}+u v^{\prime \prime \prime}
$$

用数学归纳法证明
$$
\begin{aligned}
(u v)^{(n)}=& u^{(n)} v+n u^{(n-1)} v^{\prime}+\frac{n(n-1)}{2 !} u^{(n-2)} v^{\prime \prime}+\cdots+\
& \frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !} u^{(n-k)} v^{(k)}+\cdots+u v^{(n)}
\end{aligned}
$$
即
$$
(u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}
$$

隐函数相关

例，

求$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$的导数。

先对两边取对数
$$
\ln y=\frac{1}{2}[\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4)]
$$

$$
y^{\prime}=\frac{y}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)
$$

由参数方程确定的函数的导数

在上式中如果函数$x=\varphi(t)$具有单调连续反函数$t=\varphi^{-1}(x)$，且反函数能与函数$y=\psi(t)$构成复合函数，那么参数返程（4-3）所确定的函数可以堪成事有函数$y=\psi(t), t=\varphi^{-1}(x)$复合而成的函数$y=\psi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$.假定函数$x=\varphi(t), y=\psi(t)$都可导，而且$\varphi^{\prime}(t) \neq 0$。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则有：
$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) }
$$

​ 即
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}
$$
上式也可以写成
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}
$$
如果$x=\varphi(t), y=\psi(t)$二阶可导，那么又可得到函数的二阶导数公式
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \
&=\frac{\psi^{\prime \prime}(t) \varphi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t) \varphi^{\prime \prime}(t)}{\varphi^{\prime 2}(t)} \cdot \frac{1}{\varphi^{\prime}(t)} \
&= \frac{\psi^{\prime \prime}(t) \varphi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t) \varphi^{\prime \prime}(t)}{\varphi^{\prime 3}(t)}
\end{aligned}
$$

函数的微分

微分的定义

函数$f(x)$在点$x_0$可微的充分必要条件是函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且当$f(x)$在点$x_0$可微时，其微分一定是
$$
\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x
$$
当$f\prime(x_0)\neq 0$有
$$
\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\mathrm{d} y}=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{f^{\prime}\left(x{0}\right) \Delta x}=\frac{1}{f^{\prime}\left(x{0}\right)} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=1
$$
结论：

在$f\prime(x_0)\neq 0$的条件下，以微分$\rm d y=f\prime(x_0)\Delta$近似替代增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$其误差为$o(\mathrm{d} y)$.因此，在$|\Delta x|$很小时，有近似等式
$$
\Delta y\approx\rm dy
$$

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

首先，函数微分的表达式
$$
\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x
$$

基本初等函数微分公式

函数运算的微分法则

复合函数微分法则

摘要